爱因斯坦142布拉格首文、固体比热容第二论文之量纲论证11.5

    第三部分题为《简单固体的比热和辐射理论》，这一部分通过量纲论证的手法考察了各因素可能的组合方式及其理论启示，具体探讨了固体比热容影响因素可能的组合方式、爱因斯坦由固体的弹性性能推导的原子本征频率公式、能斯特原子比热方程式4给出的原子本征频率以及林德曼（Lindenn）原子本征频率公式。www.xueyuwx.com

    首先，爱因斯坦认为影响固体比热容的因素最可能的为三个，原子质量、原子距离和原子反抗变形的弹性力：

    “现在让我们试着用一种量纲论证来确定一种固体中的原子的本征频率v。最简单的可能性显然就是振动机制由下列各量来确定：

    1.原子的质量量纲为，

    2.相邻原子之间的距离d(量纲为l)，

    3.相邻原子反抗其相互距离发生变化的力。这些力也表现在弹性形变中，它们的大小用压缩系数k(量纲为lt２/来量度。”

    包含上述三个量，并具有正确量纲的本征频率n的唯一方程式为方程5：

    n=C·√[d/（）]

    其中，C是无量纲的数字因子。

    用原子体积υ代替相邻原子之间的距离d [d=（υ/N）1/3]、用克原子量即摩尔质量M代替原子质量M=N，方程5即变为方程5a：

    n=1/3·υ1/6·M-1/2·κ-1/2=C·1.9·107·M-1/3·ρ-1/6·κ-1/2

    其中，ρ是密度。

    爱因斯坦1910年11月30日由固体的弹性性能和比热双重推导红外本征波长论文《单原子分子固体的弹性性能和比热之间的一种关系》中推导出的原子本征波长和频率公式为方程6：

    l=1.08·103·M1/3·ρ1/6·κ1/2

    n=2.8·107·M-1/3·ρ-1/6·κ-1/2

    根据方程6计算出的铜的红外本征频率为 n=5.7·1012；

    根据第二部分能斯特的方程4计算出的铜的红外本征频率为 n=6.6·1012，同时根据能斯特方程4显示的原子本征频率为单频和单频一半的情况来说，原子真实的本征频率为两种情况的平均值，即（n+n/2）/2，由此，铜真实的红外本征频率为 n=5.0·1012；

    如此，爱因斯坦的理论与能斯特的理论给出的结论就密切符合了。

    接下来以影响固体比热容最可能三个因素中的两个原子质量、原子距离为依据，并结合对应状态定律，将熔点加入量纲论证，爱因斯坦又导出了另一个固体比热容的表达式，其能与林德曼（Lindenn）原子本征频率公式对照：

    “现在让我们转向林德曼的公式，我们再一次假设，对本征频率有影响的，首先是原子的质量和相邻原子间的距离d。

    除此以外，我们还假设存在一条关于固体的对应状态定律，其准确度对我们现在的目的来说足够好。于是，材料的性能，从而包括它的本征频率，就通过材料的另一个特征量的加入而完全确定，该特征量并不取决于上述的两个量。

    作为这第三个量，我们取熔点Ts。当然，这个量并不能直接应用于量纲论证。因为它不能用C.G.S.制来直接量度。因此，代替了Ts，我们取能量τ=R·Ts/N作为温度的量度。按照热的分子运动论，τ就是一个原子在熔点温度下具有的能量的1/3(R=气体常量，N=每克原子中的原子数)。”

    在上述设定下，量纲论证立即给出方程7：

    n=C·√[τ/（2）]=C·R1/2·N1/2·√[Ts/（M·υ2/3）]=C·0.77·1012·√[Ts/（M·υ2/3）]

    而林德曼（Lindenn）原子本征频率公式为方程8：

    n=2.12·1012·√[Ts/（M·υ2/3）]

    由此，方程7的无量纲数学因子C的数量级为1，具体为2.12/0.77=2.75，这又增加了方程7正确的可信度。

    将爱因斯坦的方程6和林德曼的方程8相除可知，量 M/（ρ·Ts·κ）为常值，与材料的种类无关，但根据金属压缩率的实验值却测得量 M/（ρ·Ts·κ）并不是定值，与材料有关，其取值范围为 6×10-15和15×10-15之间，爱因斯坦认为出现此问题的根源是金属压缩率的检测和理论依然存在问题：

    “考虑到对应状态定律直到林德曼公式都成立得很好这一事实，这种情况是颇为奇怪的。

    是不是可能还有些系统误差隐藏在金属体积压缩率的一切测定中呢？各向等压强的压缩还不曾在这种目的的测量中应用过，或许是因为所涉及的实验困难颇大。