和-∞），此为关系式16。

    关系式16表示在时间t内由不规则的热过程所引起的量α变化的平方的平均值，爱因斯坦在论文中通过一句话的过渡就直接给出了本部分最终的结论公式，即布朗运动的花粉运动公式17：“从这个关系式（注：关系式16），考虑到方程8，我们得到：√`Δ2=√（2RBTt/N）。”

    之后，在一段给公式17的参数说明中，爱因斯坦结束了第三部分：“这里R是气体方程的常数(8.31×107)，N是每摩尔气体中实际分子的数目(大约为4×1023。注：1922年爱因斯坦推出了更准确的数字为6.56×1023)，B是体系关于参数α的迁移率，T是热力学温度，t是由于不规则的热过程所引起的α的变化所经历的时间。”

    关于由关系式16到公式17的过渡：

    因为òψ（Δ）dΔ=χ（Δ），所以关系式16可变为`Δ2=òΔ2χ（Δ），因为χ（Δ）是体系点运动方向坐标轴的体系点坐标值，实际代表了体系点的个数，因此，其满足方程8的关系，即χ（Δ）等价于方程8中的体系个数dn，这也是爱因斯坦在那句文字说明中提到“考虑到方程8”的原因。

    因此，将方程8代入`Δ2=òΔ2χ（Δ），将Δ看做方程8中的α，再积分就得出了公式17。其中势Φ由类似方程9：Δ1=-Bt·?Φ/?α的关系给出。

    限于目前的微积分水平，笔者暂时给出了下面不太严谨的推导：

    给公式17的参数做了一段文字说明后，论文《关于布朗运动的理论》第三部分就结束了，第四部分题为《把推导出的方程应用于布朗运动》，剩下的这两部分不太涉及复杂的微积分运算，只是公式17的简单应用，但也能看出公式17威力的强大，不枉爱因斯坦一番理论推导和读者的一番烧脑。

    在第四部分，爱因斯坦首先用公式17计算了一个悬浮在液体中的球形物体在时间t内在一定方向(坐标系的X轴方向)上所经历的平均位移，这个问题就是前一篇关于布朗运动的论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》所要解决的核心问题，现在利用公式17来解决，那感觉就像砍瓜切菜那么轻松愉快。

    首先，根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质速度的公式为（本作《爱因斯坦40》中的公式11）： w=K/（6πkP）

    其中 w是单个悬浮粒子速度，K是作用在悬浮粒子上的力， k是液体的摩擦系数，P是悬浮粒子半径。

    根据上述公式可得物理体系关于参数α的迁移率B为公式18：

    B=1/（6πkP）

    将公式18代入公式17即得悬浮球在X轴方向上的平均位移的值为公式19：

    √`Δx2=√[RTt/（N·3πkP）]

    公式17的应用场景一就此结束，轻松解决爱因斯坦1905年奇迹年的五大论文之一《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》的问题。

    公式17的应用场景二为计算悬浮球在液体中绕它的直径作(无向位摩擦的)自由转动的平均转动值√`Δr2。

    根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质旋转角速度为公式20：

    ψ=D/（8πkP3）

    其中ψ是单个悬浮粒子旋转角速度，D是作用在悬浮粒子上的动量矩，是液体的摩擦系数，P是悬浮粒子半径。

    根据上述公式可得体系关于参数α的迁移率B为公式21：

    B=1/（8πkP3）

    将公式21代入公式17即得悬浮球在液体中绕它的直径作(无向位摩擦的)自由转动的平均转动值√`Δr2为公式22：

    √`Δr2=√[RTt/（N·4πkP3）]

    对比公式19和公式22可知，由分子运动所引起的旋转运动（P3）随着P的增加而减少的程度要比平移运动（P2）快得多。

    在论文中爱因斯坦拿实验数据代入了公式22得出了相应的理论计算值：“对于P=0.5以及17℃的水，这公式（注：公式22）给出1秒钟内所经历的角平均大约是11“；在一小时内大约11′。对于P=0.5μ及17℃的水，对于t=1秒钟我们得到大约100角。”

    后来在1909年，佩兰对根据爱因斯坦的公式代入最新的数据预测的结果作了实验检验，他用了直径约13μ树脂粒子，它们包含有小的内含物，从而使他能够观察它们的旋转运动，他求得的实验值同爱因斯坦的公式预测的值符合得很好。

    在第四部分的最后，爱因斯坦简略的提到了公式17[√`Δ2=√（2RBTt/N）]在其他方面可能的应用：“所推导出的这个关于√`Δ2的公式还可以用于别的情况。比如，要是用闭电路的电阻的倒数来代替B，那么这公式就表明在时间t内平均有多少电通过任何一